RESOLUTION PAR LES RADICAUX D'UNE EQUATION DU 3 ième DEGRE ( Maths expertes )
Thème: METHODE DE CARDAN:
Pour la résolution par radicaux d'une équation du troisième degré
à coefficients réels, de la forme : x3 + p x + q =0
♦PREMIER POINT :
Le cas plus général de x3 + a x2 + b x + c = 0 peut toujours se ramener à cette forme.
( En posant x = y − a / 3 ) on obtient une équation de la forme
y3 + p y + q =0
Puis, pour revenir à x ayant y on réutilise x = y − a / 3. )
♦SECOND POINT :
Cette équation de degré impair a forcément au moins une solution dans IR.
Par contre celle-ci ne peut pas toujours être trouvée pa la méthode de Cardan.
dans l'ensemble des nombres complexes ( qui lui même contient IR )
♦TROISIEME POINT.
La méthode de Cardan ne permet pas toujours d'en trouver une racine réelle,
même s'il y a bien une racine réelle.
♦QUATRIEME POINT :
Quand on a pu trouver déjà une racine réelle k de x3 + p x + q = 0 on peut factoriser X − k
( par exemple par division ) pour obtenir un autre facteur, du second degré,
que l'on sait traiter.
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LA METHODEDE CARDAN :
L’idée consiste à chercher x sous le forme x = u + v et afin d’obtenir une équation
plus simple à résoudre.
Il remplace x par u + v dans l’équation x3 + p x + q = 0 .
Il vient:
( u + v )3 + p ( u + v ) + q = 0
Mais: ( u + v )3 = u3 + 3 u2 v + 3 u v2 + v3
Donc, en développant , en factorisant 3 u v , et en regroupant cela donne :
u3 +v3 +( 3 u v + p )( u + v ) + q = 0.
Il décide, alors, arbitrairement , pour débloquer la situation de ne considérer
que le cas où :
3 u v + p = 0
c'est-à-dire
u v = − p / 3 ( uv du signe de − p )
L’équation u3 +v3 +( 3 u v + p )( u + v ) + q = 0
donne alors :
u3 + v3 + q = 0
Il dispose donc du système suivant de trois informations:
u3 + v3 = − q
u3 v3 = − ( p / 3 )3
uv du signe de − p
Il connaît la somme et le produit de deux nombres, u3 et v3 .
Ces nombres, s'ils existent, sont solutions du trinôme du second degré en Y:
( Y − u3 )( Y− v3 ) = Y2 − ( u3 + v3 )Y + u3 v3 = Y2 + q Y− ( p / 3 )3
Ainsi, u3 et v3 doivent être les solutions de l’équation du secod degré :
Y2 + qY− (p / 3)3 = 0 avec uv du signe de – p
Une condition d'existence d'une solution porte sur le discriminant,
∆ = q2 + 4 ( p/ 3)3
Il doit être positif pour que la méthode fonctionne.
(Cardan ne connaissait pas les nombres complexes.
Donc , quand q2 + 4 ( p/ 3)3 < 0
Cardan ne pouvait pas plus avancer.
Il était bloqué, sans même pouvoir conclure quoique ce soit.
Une solution réelle, même dans le cas ∆ < 0, pouvait être possible, malgré tout,
pour l'équation de départ . Bombelli le montrera plus tard )
Il s'est placé dans le cas ∆ > 0.
Il savait résoudre cette équation Y2 + qY− (p / 3)3 = 0 par radicaux.
Ses solutions pour u3 et v3 , alors, sont exprimables par radicaux à partir des
coefficients q et ( p / 3)3 .
, Donc, à partir des racines cubique de u3 et v3 et en respectant uv du signe de – p
il pouvait obtenir u et v exprimés par radicaux des coefficients p et q
Ensuite comme x = u + v, , il a pu exprimer x par radicaux à partir de p et q.
L’équation de degré 3 x3 + p x + q = 0, devient résoluble par radicaux.
Une solution générique réelle possible, dans le cas favorable de ∆ > 0 , est donnée par :
x = [ ( − q + √( q2 + 4 (p / 3 )3 ) ) /2) ]1 / 3 + [ ( − q − √( q2 + 4 (p / 3 )3 ) ) /2) ]1 / 3
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•EXERCICE 1 :
Essayer, avec la méthode de Cardan, de tenter de résoudre l’équation :
x3 − 15 x− 4 =0.
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REPONSE:
Ici on a x3 + p x + q = 0.
avec p = −15 q = −4
L’équation du second degré intermédiaire qu’il faut résoudre est donc:
y2 + q y − ( p / 3 )3 = 0
c-à-d
y2 − 4 y + 125 = 0
Son discriminant est :
∆ = 42 − 4 *125 = − 484
∆ < 0 .
Pas de solution dans IR pour cette équation du second degré.
Tout s'arrête.
Conclusion :
Nous ne pouvons rien conclure quant à la résolution de l'équation avec Cardan
x^3 −15x−4=0
La méthode de Cardan est bloquée.
Mais on peut voir que x = 4 vérifie bien
x3 − 15x − 4 = 0
En effet : 64− 60 −4 = 0
Pour l'établir il faut faire appel à la résolution de y2 − 4 y + 125 = 0
dans l'ensemble des nombres complexes.
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• EXERCICE 2:
Essayer de résoudre l’équation x3 + 6 x − 20 = 0 avec la méthode de Cardan
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REPONSE :
On a: x3 + p x + q = 0
avec p = 6 et q = − 20
L’équation du second degré intermédiaire qu’il faut résoudre est :
y2 + q y − ( p / 3 )3 = 0
c'est à dire
y2 − 20 y − 8 = 0
Son discriminant est :
∆ = ( −20 )2 + 4 * 8 = 432
Donc ∆ > 0 .
Donc ses solutions réelle sont :
y = ( 20 +√432 ) / 2 = 10 +√108
et y = (20 −√432 ) / 2 = 10 −√108
Les racines cubiques de ces deux solutions sont
u = + ou − [ 10 +√108]1 / 3
et v = + ou − [ 10 −√108] 1 / 3
De plus uv = − P / 3= − 2
Donc u et v doivent être de signes contraires.
Prenons
u = [ 10 +√108]1 / 3
et v = − [ 10 −√108] 1 / 3
Donc ils suffit de les sommer pour avoir une solution x
réelle de l'équation de départ : x3 + 6 x − 20 = 0
x = u + v = [ 10 +√108]1 / 3 − [ 10 −√108] 1 / 3 = 2
2,732 − 0,732 = 2
Conclusion :
2 est bien une solution réelle de
x3 + 6 x − 20 = 0
On peut le vérifier 8 + 12 − 20 = 0
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• Remarque :
Si l’on a une équation de la forme x3 + a x2 + b x + c = 0
Pour la mettre sous la forme x3 + p x + q = 0
Il suffit de poser on peut poser
x = y − a / 3
On remplace x .
On obtient alors : ( y − a / 3 )3 + a ( y − a / 3 )2 + b ( y − a /3 ) + c = 0
Il suffit alors de développer et réduire.
Les deux termes du second degré disparaissent
− a y2 + a y2 = 0
Il reste une équation en y de la forme
y3 + p y + q = 0
Une fois un y possible trouvé, on robtient x avec
la relation x = y − a / 3.
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