FORMULE DE MAC LAURIN pour les polynomes de degré n à coefficients réels
1. Remarque:
En Algèbre on admet que 0 0 = 1 .
Ce qui permet pour une expression comme xn de considérer que
pour x = 0 et n = 0 on a : xn = 1
Par contre en Analyse, 0 0 est une forme indéterminée.. Cela ne veut rien dire.
2. Conséquence:
Pour tout entier naturel n, y compris 0 et pour tout nombre réel x, y compris − 1
( 1 + x ) n existe .
Ainsi :
( 1 + x ) n = 1 pour x = − 1 et n = 0
3. Degré d'un polynome.
.Soit le polynome f( x ) = a0 + a1 x + a2 x2 + .... + an xn
à coefficients réels a0 , a1 , , a2 , ...., an
avec n dans IN et de variable x dans IR .
f est une fonction polynome.
Si an est non nul , alors f( x ) est dit de degré n.
Le degré d'un polynome à coefficients réels et de variable x réelle est
le plus grand exposant de la puissance de x dans son expression.
4. Dérivation d'une fonction polynome f.
Une fonction polynome f à coefficients réels et de variable x
dans IR est indéfiniment dérivable dans IR.
Si son dégré est n avec n dans IN, sa dérivée n ième notée f ( n ) est
une fonction constante donc ne dépend pas de x.
5. Dérivées successives d'une fonction polynome de degré n ,( n dans IN ),
à coefficients réels a0 , a1 , , a2 , ...., an et de variable réelle x
Soit f( x ) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + .... + an xn
avec a0 , a1 , , a2 , ...., an dans IR
n dans IN et de variable x dans IR .
On a alors pour tout réel x :
f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 +... + an xn
f ' ( x ) = 1 a1 + 2 a2 x + 3 a3 x2 +.... + n an xn −1
f '' ( x ) = 2 • 1 a2 + 3 • 2 a3 x +.... + n ( n −1) an xn −2
f ''' ( x ) = 3 • 2 • 1 a3 +.... + n ( n −1) ( n −2) an xn −3
........
f ( n ) = n ( n −1) ( n −2)....1 an xn −n
c-à-d
f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 +... + an xn
f ' ( x ) = a1 + 2 a2 x + 3 a3 x2 +.... + n an xn −1
f '' ( x ) = 2! a2 + 3! a3 x +.... + n ( n −1) an xn −2
f ''' ( x ) = 3! a3 + ....... + n ( n −1)( n −2 ) an xn −3
........
f ( n ) ( x ) = n! an xn −n
Ainsi :
f( 0 ) = a0
f ' ( 0 ) = a1
f '' ( 0 ) = 2 ! a2
f ''' ( 0 ) = 3 ! a3
.......................
f ( n ) ( 0 ) = n ! an
On en déduit :
a0 = f( 0)
a1 = f ' ( 0)
a2 = f '' ( 0 ) / 2 !
a3 = f ''' ( 0 ) / 3 !
...........
an = f ( n ) ( 0 ) / n !
En reportant dans l'expression f ( x ) on obtient la formule de Mac Laurin:
f( x ) = f( 0 ) + f ' ( 0 ) x + [ f '' ( 0 ) / 2 ! ] x2 + [ f ''' ( 0 ) / 3 ! ] x 3 + .....+ [ f ( n ) ( 0 ) / n ! ] xn
pour tout x dans IR.
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